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?概率的哲学意义：所有科学皆为数学所有判断皆为统计
文：黄文璋
转自：《数学传播》
年，是印度传奇数学家拉曼努扬（SrinivasaRamanujan，-）的百年诞辰。为了纪念他，有一系列的活动。当代著名统计学者，出生于印度的劳氏（C.RadhakrishnaRao，），也应邀做了三场演讲。之后，印度统计学研究所（IndianStatisticalInstitut）基于劳氏的演讲稿，于年，为他出版了统计与真理一书。此书于年发行第二版。
在第一版的序文中，劳氏提到：
学生时代，我主修数学一种从给定前提下演绎结果的逻辑。后来我念统计学一种从经验中学习的理性方法，及从给定的结果验证前提的逻辑。我已认识到数学及统计，在人类为提昇自然知识，及有效管理日常事务所做的一切努力中，占有重要性。
我相信：
在最终的分析中，所有知识皆为历史。
在抽象的意义下，所有科学皆为数学。
在理性的世界里，所有判断皆为统计。
这一段话，大致说明数学及统计的重要性，及其各自的内涵。
长期以来，高中数学均涵盖概率的题材，其中古典概率（即以“相同的可能性”来解释概率）又占不小比例。因此概率常与排列组合连在一起。而排列组合是较“数学的”。虽然学生有时会被那些复杂的题目，弄得昏头转向。但那只是技巧性方面，在认知方面，大抵没太大迷惑。近年来，鉴于统计学的重要性，高中数学里，逐渐加进统计的题材。这其中95学年开始实施的“普通高级中学数课程纲要”中，新增的信赖区间与信心水准，却带给师生不小困扰。此新加入的统计题材，由于需取样，得到数据，使概率论里“随机性”的特质显现出来。而随机性与传统数学中特有的“必然性”，乃完全不同的概念。虽有人认为概率与统计，“这类数学所需的前置准备不多”，因此提前教没问题。但随机性的概念，在理解层次上，其实并不是那么容易能掌握。
翻开统计史，信赖区间，是另一著名统计学者，出生于波兰，年才移民至美国的奈曼（JrzyNyman，-。他是我的师祖，即我指导教授的指导教授），于年演讲中首度提出。他的演讲结束后，大会主席包雷（ArthurLyonBowly，-）于致词中提到，“我不很确定此信心不是一信心戏法”。要知奈曼信赖区间的概念刚提出时，大部分的统计学者，包括被视为是现代统计学之创始者，英国的费雪（SirRonaldAylmrFishr，-，常以R.A.Fishr称之）均难以接受。在所谓95%信赖区间中，那95%究竟是指什么？是概率吗？如果是，那又是什么的概率？虽奈曼取巧地以信赖区间，来称呼此一他创造出来的东西，而避用概率一词。但包雷及其同行，当然一眼便看穿这个手法。这段过程，可参考Salsburg（）Chaptr12（但该书中的A.L.Bowly应该是G.M.Bowly），及Sawilowsky（）一文。
岁月匆匆，七十多年过去了，今日统计学家，当然已完全弄懂信赖区间的意义。只是在大学里，不论在概率与统计、统计学，及数理统计等教科书中，信赖区间通常属于后半部的题材。也就是大学生在相关的课程中，开始接触信赖区间时，大致上已有相当够的概率统计基础。如今此题材却获数学家青睐，继95课纲加入后，98课纲（后改为99学年度起逐年实施）仍保留此题材。但由于缺乏足够的预备知识，高中生吸收不易，乃可预期。
为何此“有点深度”的题材，却能堂而皇之地进入高中数学教材？猜想主要原因是其重要性。这只要看到媒体上，常刊载各种调查结果的信赖区间，及信心水准，便可了解。
在有些统计教科书里，信赖区间占一章的份量。对不同的参数，不同的分布，可有不同的信赖区间；即使同一参数且同一分布，也可以不同的方法，得到不同的信赖区间。有时因条件不足，或计算复杂等原因，只好退而求其次，得到近似的信赖区间。当然这时需要一些条件，及利用一些定理。信赖区间亦可比较优劣。要知统计里有各种推论方法，但因处理的是随机现象，少有倚天既出，谁与争锋的方法。而评比时，也要订出评比准则。否则就像有个停止不动的钟，及一每日慢1分钟的钟，如何判定何者较准？前者可是每日皆有完全准确的时刻，后者却是每1，天（一天有1，分），才有一完全准确的时刻。不讲清楚如何评比，将会各说各话。
“常态分布，信赖区间与信心水准的解读”中说：
高中程度的统计推论只做随机变数期望值的估计，它的背后理论是中央极限定理。要介绍中央极限定理，就需引入常态分布。此部分仅做通识性的介绍，以活动方式建立学生对于中央极限定理的直观。对一固定的信心水准，给出信赖区间公式，再让学生以乱数表模拟或实验投掷正面出现概率为p的铜板n次，代入信赖区间公式，以说明信心水准的意涵；并以此解读，何以大多数学生所得的信赖区间都会涵盖p？
这段“解读”不但有若干问题，也没能说明白。如第一句中“它的背后理论是中央极限定理”，便不知从何而生？此非统计学里的看法。由于课纲中的解读晦涩不明，那些认真教学，想将学生教懂的高中数学教师，只好钻研其中原理，各自解读。有些还提出自认能“厘清这些概念”的文章。只是其解读，往往仍失之精准。
为何信赖区间的概念，常会沦于类似郢书燕说的下场？追根究底，还是不少学习者，未能正确了解概率的涵意。这是本文写作的动机。
概率的意义
一骰子有6个面，一掷之下，会得到偶数之概率为何？骰子看起来没有异样，就假设每个面出现的概率皆相同，即均为1/6。而偶数面有2，4，及6等3个。因此所求之概率为3/6。这就是所谓古典的概率，基本假设是“相同的可能性”。先求出观测的现象共有几种可能，再求出其中有几件是我们有兴趣的。将后者除以前者，即为所要的概率。虽说是“古典”，这种概率的意义，至今仍处处可见。采用的范围包含诸如抽籤、玩扑克牌，及玩乐透彩等。又如某项工作征才，报名的有82人，录取5人。若没有什么特别的资讯，便只能假设每人被录取的概率皆相同，即皆为5/82。
年7月底8月初，世界高尔夫球王老虎伍兹（TigrWoods），参加在美国密西根州举行的别克公开赛（BuickOpn）。第1轮打完，落后领先者多达8杆，排名并列95。引发他可能难逃职业生涯，首次连续2场比赛（前一场是英国公开赛（ThOpnChampionship，在英国之外常称为BritishOpn）），提前被淘汰的话题。不过老虎毕竟不能小觑，打完前3轮后，伍兹跃居首位。
这时大家看法不变，一致认为这座冠军盃，几乎可说是他的囊中物了。因过去的纪录显示，伍兹如能带着54洞领先进入决赛圈，战绩是35胜1败。你要不要猜后来他赢了没有？运动比赛，往往有过去资料可参考，此时相同的可能性便不宜用了。36次中成功35次，“相对频率”为35/36（约0.）。这种以相对频率来解释概率，是常有的作法。适用能重复观测的现象。会不会有爆出冷门的时候？当然有。只是对一特定事件，用过去多次同样情况下，该事件发生的相对频率，来估计下一次事件发生的概率，乃是在没有更多资讯下，常被认为一属于客观的办法。
某君看上一女孩，惊为天人，觉得这是他今生的新娘。评估后信心满满，自认追上的机会有8成。旁人却都不看好，问他8成这一数字，是如何冒出来的？该君举证历历，一个又一个的迹象，显示那女孩对他很有好感。这个0.8的概率，就是所谓主观概率。主观概率当然也可基于过认识概率35去一些客观的事实。只是即使面对同样的资料，不同的人，可能有不同的判定，因而给出不同的主观概率（看过他其实没那么喜欢你（H’sJustNotThatIntoYou）吗？片中那个叫Gigi的女孩，便常误解男生所透露的讯息）。有些现象就是不能重复观测。如核能电厂的意外，及彗星撞地球等。以追女孩为例，大约少有女孩，会让你做实验，反覆地追，然后数一数其中成功几次，来定下她会被你追上的概率。对这类无法重复观测的现象，在谈概率时，主观概率就常派上用场。每天早上出门，我们不是惯于抬头看天，判断一下今天下雨的概率有几成？只是往往父母认为的概率会大些，该带伞，而小孩所认为的下雨概率会小些。
虽说“主观”，但仍要合理。例如，考试有及格与不及格。若认为会及格的概率为0.9，这没问题，人总要有点自信，但若又同时担心有0.8的概率会不及格，那就不行了。各种可能性发生概率相加要为1。即使是主观，可以独排众议，仍须自圆其说。不能说，既然是主观，便可以任意自定各事件之概率。因此不论是那一种对概率的解释，都自然地，或说必须要满足一些共同的规则。这点大家应能理解。
上述三种是常见对概率的解释，大抵也就是人们评估事件发生可能性之大小的几种思维。虽是针对不同的情况，但常能交互着运用。大家都听过曾参杀人的典故吧！有个与曾子同名的人杀人，好心者告诉曾母“曾参杀人”。曾母说“吾子不杀人”，继续织布。过一会儿，又有人来说“曾参杀人”。曾母仍继续织她的布，这么好的儿子怎可能杀人？但当第三人跑来说“曾参杀人”，曾母就害怕了，丢掉织布器具翻墙而逃。所谓“其母惧，投杼踰墙而走”。这故事出自战国策秦策二。因此当拿到一铜板，可主观地认为，政府发行不该会有偏差，两面出现的概率，应皆为1/2（这也可以是基于相同可能性之想法）。若投掷10次，正面出现8次，可能觉得有些奇怪。若继续投掷，结果次中，出现80个正面，这时相对频率的观点，很可能便将显现。类如曾母，调整看法，不再认为此铜板公正。
当然，你可以不信邪，不论投掷的结果如何，皆认为那只是短暂的情况，意志坚定地认为这是一公正的铜板。这并没有不行，就像会有母亲，即使再多的人证，只要她没亲眼看到，她就不信儿子会杀人。要知随机现象，事件只要概率为正，不论概率值多小，便皆可能发生。毕竟铜板正面出现的概率为何，只有天晓得。但引进概率与统计，乃为了协助我们做决策可以更精准。而决策可以与时推移，并非不能更改。有如气象局对颱风会带来多少雨量，须密切掌握新的动向，而随时修正。要有随机的思维，如前言中劳氏所说的，从给定的结果，验证前提。因此针对次投掷，出现80个正面，多数人面对此结果，还是会认为0.8的正面出现概率，较0.5的概率可信。稍后我们会再来看，10次中的8次，与次中的80次，相对频率同为0.8，但提供的资讯，是否有异？
虽然已有上述三种对概率的解释，也涵盖了不少实际生活中所遇到的情况，数学家当然不会在此止步。他们喜欢抽象化，及一般化。像解方程式，会寻求公式，以表示出某类方程式的解，而非只满足于求出一个个的特例之解。又如当完全了解实数系统后，便会以公理化的方式，定义实数系统。即给一集合，没说是数字的集合，对其中的元素定义二运算，并给出10条遵循的公理（axiom，规则）。你好奇该二运算是否一为加法，一为乘法？而怎么没有减法与除法？名可名，非常名，数学家不认为你提出的是重要的问题。但用心体会后，你终于发现原来二运算，其一等同于加法，其二等同于乘法。也看出此集合中，有一元素根本就是0，而有一元素根本就是1。数学家对你的洞察力，仍不以为意，但同意你可以这样想。
什么叫以公理化的方式，来引进概率？先要有一个集合，称做样本空间，当做某一观测之所有可能结果的集合。可以真的有这一观测，或只是虚拟的。样本空间的某些子集合，是我们有兴趣的，这些就是一个个的事件。所有事件也构成一集合。最后定出一概率函数，即对每一事件，给一介于0，1间的值，为该事件之概率。样本空间、事件的集合，及概率函数，三者便构成概率空间（probabilityspac）。这其中对样本空间没有太大要求，但不可以是空集合。而事件的集合，要满足若干条件。简单讲，就是你有兴趣的事件不能太少。譬如说，不能只对某事件A发生有兴趣，却对A不发生没兴趣。因此事件的集合要够大，至少该有的都得纳入。这有点像婚宴前拟宾客名单。可以请很少人，如只有双方家长。而一旦多列了某人，与他同样亲近的人便也要一併请。所以每多列1人，将不只是增加1人而已，而会随之增加几位。又概率函数，既然以概率之名，当然要符合过去大家对概率的认知，满足一些基本的条件。
在概率空间的架构下，不论采用何种方式解释概率的人，都可各自表述，找到他所以为的概率意义。但因抽象化后，不再局限于铜板、骰子，及扑克牌等，便能讨论较一般的问题，有够多的理论可挖掘。
与数学的其他领域相比，概率论的发展是较晚的。但公理化后，概率论便快速地有了深而远的发展，并成为数学中一重要的领域。这都要归功于二十世纪那位重要的概率学家，俄国的科莫果洛夫（AndryNikolavichKolmogorov，-），于他年出版，那本不到页的小书概率论的基础（FoundationsofthThoryofProbability）中所奠定。在此书中，他说：
概率论作为数学学科，可以而且应该从公理开始发展，就如同几何、代数一样（ThthoryofprobabilityasmathmaticaldisciplincanandshouldbdvlopdfromaxiomsinxactlythsamwayasGomtryandAlgbra）。
何处是概率天地
有法国牛顿之称的拉普拉斯（Pirr-Simon，MarquisdLaplac，-）曾说：
这门源自考虑赌博中的机运之科学，必将成为人类知识中最重要的一部分，生活中最重要的问题中的大部分，都将只是概率的问题。（Thisscinc，whichoriginatdinthconsidrationofgamsofchanc，shouldhavb治疗白癜风最好药治疗白癜风医院哪家好